이항분포의 개념

이항 분포는 독립적으로 반복되는 두 가지 상호 배타적인 시행에서의 성공 횟수를 나타내는 이산형 확률 분포입니다. 예를 들어, 동전 던지기에서 앞면이 나오는 것을 성공, 뒷면이 나오는 것을 실패로 취급할 때, n번의 동전 던지기에서 성공한 횟수 X는 이항 분포를 따릅니다.

이항 분포의 확률 변수 X는 이항 분포의 매개 변수인 n과 p에 따라 결정됩니다. 여기서 n은 동일한 실험을 반복하는 횟수이고, p는 각 실험에서 성공할 확률입니다. 예를 들어, 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률이 0.5라면, p는 0.5가 됩니다.

이항 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.

P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)

여기서 (n choose k)는 조합을 나타내며, n개 중에서 k개를 선택하는 경우의 수를 의미합니다. 즉, n번의 시행 중 k번 성공할 확률은 위의 식을 이용해 계산할 수 있습니다.

이항 분포는 베르누이 분포의 일반화된 형태로 볼 수 있습니다. 베르누이 분포는 단 하나의 시행에서 성공 또는 실패를 판단하는 분포이며, 이항 분포는 동일한 실험을 n번 반복하여 성공한 횟수를 계산하는 것으로 베르누이 분포를 일반화시킨 것입니다.

이항 분포는 확률 이론, 통계학, 경제학, 생물학 등 다양한 분야에서 사용되며, 실제로도 많이 쓰이는 분포 중 하나입니다.
 

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예. 이항 분포는 독립적이고 동일하게 분포된 n개의 베르누이 시도 시퀀스에서 성공 확률을 나타내는 이산 확률 분포입니다. 이항 분포는 동전을 10번 던졌을 때 나오는 앞면 수, 100명을 대상으로 한 설문조사에서 새로운 법안에 찬성하는 사람의 수, 100개 품목의 배치에서 불량 품목의 수 등 다양한 상황을 모델링하는 데 사용할 수 있습니다.

이항 분포의 확률 질량 함수(pmf)는 다음 공식으로 주어집니다:

```
P(X = k) = nCk * p^k * (1 - p)^(n - k)
```

여기서

* X는 성공 횟수를 나타내는 무작위 변수입니다.
* n은 시도 횟수입니다.
* k는 성공 횟수입니다.
* p는 성공 확률입니다.
* q = 1 - p는 실패 확률입니다.

이항 분포에는 다음과 같은 여러 가지 특성이 있습니다:

* 분포의 평균은 np입니다.
* 분포의 분산은 npq입니다.
* 분포의 표준 편차는 sqrt(npq)입니다.

이항 분포는 다양한 상황을 모델링하는 데 사용할 수 있는 강력한 도구입니다. 이해하고 사용하기 쉬우며 통계학에서 널리 사용됩니다.